STRAFWERK ANNO 2016: 20 MAAL ZO SNEL ALS IN DE 1950s  right-click on formula for mathjax menu  FEBRUARY 15TH 2016
     



Eén van de weinige merkwaardige producten die je bij het voortgezet onderwijs uit het hoofd leert: \((a+b)^2 = \ ?\ \).

\((a+b+c)^3 = \ ?\ \): mooie huiswerkopgave; kost ca 10 minuten om ordelijk uit te werken.

\((a+b+c+d)^4 = \ ?\ \): kleine strafwerkopgave; kost ca 60 minuten om te maken; papier van A3-formaat (ca 30 cm x 42 cm) aanbevolen.

\((a+b+c+d+e)^5 = \ ?\ \): grote strafwerkopgave; kost ca 10 uren, op school terugkomen op Maandag t/m Vrijdag van 14:00 tot ca 16:30 uur.

\((a+b+c+d+e+f)^6 = \ ?\ \): een monster; zou minstens ca 60 uren kosten. Kan met behulp van wiskunde-software in een oogwenk gemaakt worden, waarna het overschrijven van de uitkomst op papier ca 3 uren zou kosten.

Product van drie 3-termen: maximaal \(3^3 = 27\) termen; vier 4-termen: maximaal \(4^4 = 256\) termen; \( 5^5 = 3125 \); \( 6^6 = 46656 \) enzovoort.
Dit loopt gauw uit de klauwen: bekijk maar de verhouding van het volgende aantal tot het vorige aantal, \( (n + 1)^{n + 1} / n^n = (1 + 1/n)^{n} \times (n + 1)  \). Met toenemende \(n\) is de limiet van de eerste factor \( e = 2.718281828... \). Dit is het exponentiële aandeel in de groei van \( n^n \). De factor \( n+1 \) komt overeen met het \( n! \)-aandeel in de groei van \( n^n \) met toenemende \( n \).
Een asymptotische benadering van \(n^n\) is \(n^n \sim n! \ e^n / \surd (2 \pi n) \), een variatie op de formule van Stirling.


NB: De formules worden aanvankelijk als TeX-LaTeX - brontekst getoond. De omvorming tot displaytekst door MathJax kost ca 30 - 40 seconden.


\((a+b+c+d+e+f)^6 = \ \ \)
\( a^6 + 6 a^5 b + 15 a^4 b^2 + 20 a^3 b^3 + 15 a^2 b^4 + \ \ \)
\( 6 a b^5 + b^6 + 6 a^5 c + 30 a^4 b c + 60 a^3 b^2 c + 60 a^2 b^3 c + \ \ \)
\( 30 a b^4 c + 6 b^5 c + 15 a^4 c^2 + 60 a^3 b c^2 + 90 a^2 b^2 c^2 + \ \ \)
\( 60 a b^3 c^2 + 15 b^4 c^2 + 20 a^3 c^3 + 60 a^2 b c^3 + \ \ \)
\( 60 a b^2 c^3 + 20 b^3 c^3 + 15 a^2 c^4 + 30 a b c^4 + 15 b^2 c^4 + \ \ \)
\( 6 a c^5 + 6 b c^5 + c^6 + 6 a^5 d + 30 a^4 b d + 60 a^3 b^2 d + \ \ \)
\( 60 a^2 b^3 d + 30 a b^4 d + 6 b^5 d + 30 a^4 c d + 120 a^3 b c d + \ \ \)
\( 180 a^2 b^2 c d + 120 a b^3 c d + 30 b^4 c d + 60 a^3 c^2 d + \ \ \)
\( 180 a^2 b c^2 d + 180 a b^2 c^2 d + 60 b^3 c^2 d + 60 a^2 c^3 d + \ \ \)
\( 120 a b c^3 d + 60 b^2 c^3 d + 30 a c^4 d + 30 b c^4 d + 6 c^5 d + \ \ \)
\( 15 a^4 d^2 + 60 a^3 b d^2 + 90 a^2 b^2 d^2 + 60 a b^3 d^2 + \ \ \)
\( 15 b^4 d^2 + 60 a^3 c d^2 + 180 a^2 b c d^2 + 180 a b^2 c d^2 + \ \ \)
\( 60 b^3 c d^2 + 90 a^2 c^2 d^2 + 180 a b c^2 d^2 + 90 b^2 c^2 d^2 + \ \ \)
\( 60 a c^3 d^2 + 60 b c^3 d^2 + 15 c^4 d^2 + 20 a^3 d^3 + \ \ \)
\( 60 a^2 b d^3 + 60 a b^2 d^3 + 20 b^3 d^3 + 60 a^2 c d^3 + \ \ \)
\( 120 a b c d^3 + 60 b^2 c d^3 + 60 a c^2 d^3 + 60 b c^2 d^3 + \ \ \)
\( 20 c^3 d^3 + 15 a^2 d^4 + 30 a b d^4 + 15 b^2 d^4 + 30 a c d^4 + \ \ \)
\( 30 b c d^4 + 15 c^2 d^4 + 6 a d^5 + 6 b d^5 + 6 c d^5 + d^6 + \ \ \)
\( 6 a^5 e + 30 a^4 b e + 60 a^3 b^2 e + 60 a^2 b^3 e + 30 a b^4 e + \ \ \)
\( 6 b^5 e + 30 a^4 c e + 120 a^3 b c e + 180 a^2 b^2 c e + \ \ \)
\( 120 a b^3 c e + 30 b^4 c e + 60 a^3 c^2 e + 180 a^2 b c^2 e + \ \ \)
\( 180 a b^2 c^2 e + 60 b^3 c^2 e + 60 a^2 c^3 e + 120 a b c^3 e + \ \ \)
\( 60 b^2 c^3 e + 30 a c^4 e + 30 b c^4 e + 6 c^5 e + 30 a^4 d e + \ \ \)
\( 120 a^3 b d e + 180 a^2 b^2 d e + 120 a b^3 d e + 30 b^4 d e + \ \ \)
\( 120 a^3 c d e + 360 a^2 b c d e + 360 a b^2 c d e + 120 b^3 c d e + \ \ \)
\( 180 a^2 c^2 d e + 360 a b c^2 d e + 180 b^2 c^2 d e + \ \ \)
\( 120 a c^3 d e + 120 b c^3 d e + 30 c^4 d e + 60 a^3 d^2 e + \ \ \)
\( 180 a^2 b d^2 e + 180 a b^2 d^2 e + 60 b^3 d^2 e + 180 a^2 c d^2 e + \ \ \)
\( 360 a b c d^2 e + 180 b^2 c d^2 e + 180 a c^2 d^2 e + \ \ \)
\( 180 b c^2 d^2 e + 60 c^3 d^2 e + 60 a^2 d^3 e + 120 a b d^3 e + \ \ \)
\( 60 b^2 d^3 e + 120 a c d^3 e + 120 b c d^3 e + 60 c^2 d^3 e + \ \ \)
\( 30 a d^4 e + 30 b d^4 e + 30 c d^4 e + 6 d^5 e + 15 a^4 e^2 + \ \ \)
\( 60 a^3 b e^2 + 90 a^2 b^2 e^2 + 60 a b^3 e^2 + 15 b^4 e^2 + \ \ \)
\( 60 a^3 c e^2 + 180 a^2 b c e^2 + 180 a b^2 c e^2 + 60 b^3 c e^2 + \ \ \)
\( 90 a^2 c^2 e^2 + 180 a b c^2 e^2 + 90 b^2 c^2 e^2 + 60 a c^3 e^2 + \ \ \)
\( 60 b c^3 e^2 + 15 c^4 e^2 + 60 a^3 d e^2 + 180 a^2 b d e^2 + \ \ \)
\( 180 a b^2 d e^2 + 60 b^3 d e^2 + 180 a^2 c d e^2 + 360 a b c d e^2 + \ \ \)
\( 180 b^2 c d e^2 + 180 a c^2 d e^2 + 180 b c^2 d e^2 + 60 c^3 d e^2 + \ \ \)
\( 90 a^2 d^2 e^2 + 180 a b d^2 e^2 + 90 b^2 d^2 e^2 + \ \ \)
\( 180 a c d^2 e^2 + 180 b c d^2 e^2 + 90 c^2 d^2 e^2 + 60 a d^3 e^2 + \ \ \)
\( 60 b d^3 e^2 + 60 c d^3 e^2 + 15 d^4 e^2 + 20 a^3 e^3 + \ \ \)
\( 60 a^2 b e^3 + 60 a b^2 e^3 + 20 b^3 e^3 + 60 a^2 c e^3 + \ \ \)
\( 120 a b c e^3 + 60 b^2 c e^3 + 60 a c^2 e^3 + 60 b c^2 e^3 + \ \ \)
\( 20 c^3 e^3 + 60 a^2 d e^3 + 120 a b d e^3 + 60 b^2 d e^3 + \ \ \)
\( 120 a c d e^3 + 120 b c d e^3 + 60 c^2 d e^3 + 60 a d^2 e^3 + \ \ \)
\( 60 b d^2 e^3 + 60 c d^2 e^3 + 20 d^3 e^3 + 15 a^2 e^4 + 30 a b e^4 + \ \ \)
\( 15 b^2 e^4 + 30 a c e^4 + 30 b c e^4 + 15 c^2 e^4 + 30 a d e^4 + \ \ \)
\( 30 b d e^4 + 30 c d e^4 + 15 d^2 e^4 + 6 a e^5 + 6 b e^5 + 6 c e^5 + \ \ \)
\( 6 d e^5 + e^6 + 6 a^5 f + 30 a^4 b f + 60 a^3 b^2 f + 60 a^2 b^3 f + \ \ \)
\( 30 a b^4 f + 6 b^5 f + 30 a^4 c f + 120 a^3 b c f + \ \ \)
\( 180 a^2 b^2 c f + 120 a b^3 c f + 30 b^4 c f + 60 a^3 c^2 f + \ \ \)
\( 180 a^2 b c^2 f + 180 a b^2 c^2 f + 60 b^3 c^2 f + 60 a^2 c^3 f + \ \ \)
\( 120 a b c^3 f + 60 b^2 c^3 f + 30 a c^4 f + 30 b c^4 f + 6 c^5 f + \ \ \)
\( 30 a^4 d f + 120 a^3 b d f + 180 a^2 b^2 d f + 120 a b^3 d f + \ \ \)
\( 30 b^4 d f + 120 a^3 c d f + 360 a^2 b c d f + 360 a b^2 c d f + \ \ \)
\( 120 b^3 c d f + 180 a^2 c^2 d f + 360 a b c^2 d f + \ \ \)
\( 180 b^2 c^2 d f + 120 a c^3 d f + 120 b c^3 d f + 30 c^4 d f + \ \ \)
\( 60 a^3 d^2 f + 180 a^2 b d^2 f + 180 a b^2 d^2 f + 60 b^3 d^2 f + \ \ \)
\( 180 a^2 c d^2 f + 360 a b c d^2 f + 180 b^2 c d^2 f + \ \ \)
\( 180 a c^2 d^2 f + 180 b c^2 d^2 f + 60 c^3 d^2 f + 60 a^2 d^3 f + \ \ \)
\( 120 a b d^3 f + 60 b^2 d^3 f + 120 a c d^3 f + 120 b c d^3 f + \ \ \)
\( 60 c^2 d^3 f + 30 a d^4 f + 30 b d^4 f + 30 c d^4 f + 6 d^5 f + \ \ \)
\( 30 a^4 e f + 120 a^3 b e f + 180 a^2 b^2 e f + 120 a b^3 e f + \ \ \)
\( 30 b^4 e f + 120 a^3 c e f + 360 a^2 b c e f + 360 a b^2 c e f + \ \ \)
\( 120 b^3 c e f + 180 a^2 c^2 e f + 360 a b c^2 e f + \ \ \)
\( 180 b^2 c^2 e f + 120 a c^3 e f + 120 b c^3 e f + 30 c^4 e f + \ \ \)
\( 120 a^3 d e f + 360 a^2 b d e f + 360 a b^2 d e f + 120 b^3 d e f + \ \ \)
\( 360 a^2 c d e f + 720 a b c d e f + 360 b^2 c d e f + \ \ \)
\( 360 a c^2 d e f + 360 b c^2 d e f + 120 c^3 d e f + \ \ \)
\( 180 a^2 d^2 e f + 360 a b d^2 e f + 180 b^2 d^2 e f + \ \ \)
\( 360 a c d^2 e f + 360 b c d^2 e f + 180 c^2 d^2 e f + \ \ \)
\( 120 a d^3 e f + 120 b d^3 e f + 120 c d^3 e f + 30 d^4 e f + \ \ \)
\( 60 a^3 e^2 f + 180 a^2 b e^2 f + 180 a b^2 e^2 f + 60 b^3 e^2 f + \ \ \)
\( 180 a^2 c e^2 f + 360 a b c e^2 f + 180 b^2 c e^2 f + \ \ \)
\( 180 a c^2 e^2 f + 180 b c^2 e^2 f + 60 c^3 e^2 f + 180 a^2 d e^2 f + \ \ \)
\( 360 a b d e^2 f + 180 b^2 d e^2 f + 360 a c d e^2 f + \ \ \)
\( 360 b c d e^2 f + 180 c^2 d e^2 f + 180 a d^2 e^2 f + \ \ \)
\( 180 b d^2 e^2 f + 180 c d^2 e^2 f + 60 d^3 e^2 f + 60 a^2 e^3 f + \ \ \)
\( 120 a b e^3 f + 60 b^2 e^3 f + 120 a c e^3 f + 120 b c e^3 f + \ \ \)
\( 60 c^2 e^3 f + 120 a d e^3 f + 120 b d e^3 f + 120 c d e^3 f + \ \ \)
\( 60 d^2 e^3 f + 30 a e^4 f + 30 b e^4 f + 30 c e^4 f + 30 d e^4 f + \ \ \)
\( 6 e^5 f + 15 a^4 f^2 + 60 a^3 b f^2 + 90 a^2 b^2 f^2 + \ \ \)
\( 60 a b^3 f^2 + 15 b^4 f^2 + 60 a^3 c f^2 + 180 a^2 b c f^2 + \ \ \)
\( 180 a b^2 c f^2 + 60 b^3 c f^2 + 90 a^2 c^2 f^2 + 180 a b c^2 f^2 + \ \ \)
\( 90 b^2 c^2 f^2 + 60 a c^3 f^2 + 60 b c^3 f^2 + 15 c^4 f^2 + \ \ \)
\( 60 a^3 d f^2 + 180 a^2 b d f^2 + 180 a b^2 d f^2 + 60 b^3 d f^2 + \ \ \)
\( 180 a^2 c d f^2 + 360 a b c d f^2 + 180 b^2 c d f^2 + \ \ \)
\( 180 a c^2 d f^2 + 180 b c^2 d f^2 + 60 c^3 d f^2 + 90 a^2 d^2 f^2 + \ \ \)
\( 180 a b d^2 f^2 + 90 b^2 d^2 f^2 + 180 a c d^2 f^2 + \ \ \)
\( 180 b c d^2 f^2 + 90 c^2 d^2 f^2 + 60 a d^3 f^2 + 60 b d^3 f^2 + \ \ \)
\( 60 c d^3 f^2 + 15 d^4 f^2 + 60 a^3 e f^2 + 180 a^2 b e f^2 + \ \ \)
\( 180 a b^2 e f^2 + 60 b^3 e f^2 + 180 a^2 c e f^2 + 360 a b c e f^2 + \ \ \)
\( 180 b^2 c e f^2 + 180 a c^2 e f^2 + 180 b c^2 e f^2 + 60 c^3 e f^2 + \ \ \)
\( 180 a^2 d e f^2 + 360 a b d e f^2 + 180 b^2 d e f^2 + \ \ \)
\( 360 a c d e f^2 + 360 b c d e f^2 + 180 c^2 d e f^2 + \ \ \)
\( 180 a d^2 e f^2 + 180 b d^2 e f^2 + 180 c d^2 e f^2 + 60 d^3 e f^2 + \ \ \)
\( 90 a^2 e^2 f^2 + 180 a b e^2 f^2 + 90 b^2 e^2 f^2 + \ \ \)
\( 180 a c e^2 f^2 + 180 b c e^2 f^2 + 90 c^2 e^2 f^2 + \ \ \)
\( 180 a d e^2 f^2 + 180 b d e^2 f^2 + 180 c d e^2 f^2 + \ \ \)
\( 90 d^2 e^2 f^2 + 60 a e^3 f^2 + 60 b e^3 f^2 + 60 c e^3 f^2 + \ \ \)
\( 60 d e^3 f^2 + 15 e^4 f^2 + 20 a^3 f^3 + 60 a^2 b f^3 + \ \ \)
\( 60 a b^2 f^3 + 20 b^3 f^3 + 60 a^2 c f^3 + 120 a b c f^3 + \ \ \)
\( 60 b^2 c f^3 + 60 a c^2 f^3 + 60 b c^2 f^3 + 20 c^3 f^3 + \ \ \)
\( 60 a^2 d f^3 + 120 a b d f^3 + 60 b^2 d f^3 + 120 a c d f^3 + \ \ \)
\( 120 b c d f^3 + 60 c^2 d f^3 + 60 a d^2 f^3 + 60 b d^2 f^3 + \ \ \)
\( 60 c d^2 f^3 + 20 d^3 f^3 + 60 a^2 e f^3 + 120 a b e f^3 + \ \ \)
\( 60 b^2 e f^3 + 120 a c e f^3 + 120 b c e f^3 + 60 c^2 e f^3 + \ \ \)
\( 120 a d e f^3 + 120 b d e f^3 + 120 c d e f^3 + 60 d^2 e f^3 + \ \ \)
\( 60 a e^2 f^3 + 60 b e^2 f^3 + 60 c e^2 f^3 + 60 d e^2 f^3 + \ \ \)
\( 20 e^3 f^3 + 15 a^2 f^4 + 30 a b f^4 + 15 b^2 f^4 + 30 a c f^4 + \ \ \)
\( 30 b c f^4 + 15 c^2 f^4 + 30 a d f^4 + 30 b d f^4 + 30 c d f^4 + \ \ \)
\( 15 d^2 f^4 + 30 a e f^4 + 30 b e f^4 + 30 c e f^4 + 30 d e f^4 + \ \ \)
\( 15 e^2 f^4 + 6 a f^5 + 6 b f^5 + 6 c f^5 + 6 d f^5 + 6 e f^5 + f^6 \)


Het product van zes verschillende 6-termen bestaat uit maximaal \(6^6\) = 46656 termen.
Als er identieke termen in twee of meer factoren van het product voorkomen dan bestaat er minstens één groep van dezelfde termen in het product, die dan met een coëfficiënt volgens conventie als één term wordt geschreven.
Het product van zes identieke 6-termen, ofwel de 6e macht van een 6-term, bestaat nog altijd uit 462 termen.


Aan al de bovenstaande termen kan op grond van het aantal verschillende factoren en hun exponenten een vorm worden toegekend als volgt:

\(a^6\), \(b^6\), \(c^6\), \(d^6\), \(e^6\), \(f^6\) krijgen de vorm "6"; \(a^5 b\), \(a b^5\), \(a^5 c\), \(a c^5\), ..., \(e^5 f\), \(e f^5\) krijgen de vorm "51"; ... \(a^3 b^3\) ... \(e^3 f^3\) krijgen de vorm "33" enz; uiteindelijk krijgt \(a b c d e f\) de vorm "111111".
De som van de cijfers in deze vormen is bij de opgave "\((a+b+c+d+e+f)^6 = \ ?\)" is altijd 6; alle verdelingen van 6 in gehele delen (partities) komen voor.

VORM COEFFICIENT VERSCHIJNT ... KEER OMVAT ... TERMEN
6 1 6 6
51 6 30 180
42 15 30 450
33 20 15 300
411 30 60 1800
321 60 120 7200
222 90 20 1800
3111 120 60 7200
2211 180 90 16200
21111 360 30 10800
111111 720 1 720
TOTAAL niet van toepassing 462 46656




(Inline delimiters are backslash - left parenthesis and backslash - right parenthesis)

(Paragraph delimiters are dollar-dollar and dollar-dollar)

(Single dollars are not delimiters)

TAKE CARE that within the LaTeX texts no other HTML mark-up than <br> is present (*).

KOMPOZER users: take care to remove any cursor blocks within the LaTeX texts by means of the Del or the Backspace keys.

(*) TIP: specify any CSS styles for the texts within a table cell in the corresponding <td> tag.



Latest addition  Mathjax as used by arXiv  



 



Validated by AMAYA       Valid HTML 4.01      Valid CSS     MathJax Logo