VAN ELFRINKHOF ON 4D ROTATIONS (1897)  right-click on formula for mathjax menu JUNE 7TH 2015
     


Zoekterm / Search Term: HANDELINGEN VAN HET NEDERLANDSCH NATUUR- EN GENEESKUNDIG CONGRES - woorden aaneenliggend / words adjacent



EENE EIGENSCHAP VAN DE ORTHOGONALE SUBSTITUTIE VAN DE VIERDE ORDE

L. VAN ELFRINKHOF
HANDELINGEN VAN HET ZESDE NEDERLANDSCH NATUUR- EN GENEESKUNDIG CONGRES, 237-240
DELFT - APRIL 1897


[pagina 237]

De heer L. VAN ELFRINKHOF spreekt over: "Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde".


Stellen wij de matrix voor in de gedaante

\[
M =
\left[
\begin{array}{rrrr}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} \\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} 
\end{array}
\right]
\]
\(  \)
dan geeft SALMON "Lessons on modern higher algebra" § 44 een methode om de 16 coefficienten \( C \) uit te drukken in 6 onafhankelijke grootheden. Voeren wij om homogeene vormen te verkrijgen nog een 7de verandelijke in, [er worden twee nieuwe varanderlijken ingevoerd - (*) JEM] dan verkrijgen wij de volgende waarden:

\( \Delta \ .C_{11} =  \varpi^2 + \lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 - \alpha^2 - \beta^2 - \gamma^2 - \theta^2 \),

\( \Delta \ .C_{12} = 2 \ ( \gamma \mu - \beta \nu - \alpha \varpi - \lambda \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{13} = 2 \ ( \alpha \nu - \gamma \lambda - \beta \varpi - \mu \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{14} = 2 \ ( \beta \lambda - \alpha \mu - \gamma \varpi - \nu \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{21} = 2 \ ( \gamma \mu - \beta \nu + \alpha \varpi + \lambda \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{22} =  \varpi^2 + \lambda^2 - \mu^2 - \nu^2 - \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \theta^2 \),

\( \Delta \ .C_{23} = 2 \ ( \lambda \mu - \alpha \beta - \nu \varpi - \gamma \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{24} = 2 \ ( \lambda \nu - \alpha \gamma + \mu \varpi + \beta \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{31} = 2 \ ( \alpha \nu - \gamma \lambda + \beta \varpi + \mu \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{32} = 2 \ ( \lambda \mu - \alpha \beta + \nu \varpi + \gamma \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{33} =  \varpi^2 - \lambda^2 + \mu^2 - \nu^2 + \alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 - \theta^2 \),

\( \Delta \ .C_{34} = 2 \ ( \mu \nu - \beta \gamma - \lambda \varpi - \alpha \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{41} = 2 \ ( \beta \lambda - \alpha \mu + \gamma \varpi + \nu \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{42} = 2 \ ( \lambda \nu - \alpha \gamma - \mu \varpi - \beta \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{43} = 2 \ ( \mu \nu - \beta \gamma + \lambda \varpi + \alpha \theta ) \),

\( \Delta \ .C_{44} =  \varpi^2 - \lambda^2 - \mu^2 + \nu^2 + \alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 - \theta^2 \), 
[origineel : \( 1 \) in plaats van \( \varpi^2 \); is vermoedelijk een zetfout.]

\( \Delta  =  \varpi^2 + \lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 + \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \theta^2 \),
\( \varpi \theta = \alpha \lambda + \beta \mu + \gamma \nu \). 


Substitueert men in deze vormen
\[ \varpi = (a + p)/2, \ \alpha = (b + q)/2, \ \beta = (c + r)/2, \ \gamma = (d + s)/2, \]
\[ \theta =−(a − p)/2, \ \lambda = (b − q)/2, \ \mu = (c − r)/2, \  \nu = (d − s)/2, \]
dan wordt
\[ 2\Delta = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + p^2 + q^2 + r^2 + s^2, \]
terwijl de betrekking  \( \varpi \theta = \alpha \lambda + \beta \mu + \gamma \nu \) overgaat in de gedaante
\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + r^2 + s^2.\]

Daar wij 7 [in werkelijkheid: 8] in plaats van 6 onafhankelijke grootheden hebben ingevoerd, kunnen wij een nieuwe betrekking [twee nieuwe betrekkingen] aannemen, nl.:
\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + r^2 + s^2 = 1; \]
dan wordt \( \Delta = 1 \) en de matrix verkrijgt de gedaante

[pagina 238]

\[
\left[
\begin{array}{rrrr}
+ap−bq−cr−ds & \  −aq−bp+cs−dr & \  −ar−bs−cp+dq & \  −as+br−cq−dp \\
+aq+bp+cs−dr & \  +ap−bq+cr+ds & \  +as−br−cq−dp & \  −ar−bs+cp−dq \\
+ar−bs+cp+dq & \  −as−br−cq+dp & \  +ap+bq−cr+ds & \  +aq−bp−cs−dr \\
+as+br−cq+dp & \  +ar−bs−cp−dq & \  −aq+bp−cs−dr & \  +ap+bq+cr−ds
\end{array}
\right]
\]
Uit deze gedaante blijkt en kan gemakkelijk geverifieerd worden, dat de matrix ontbonden kan worden in twee factoren, nl.:

\[
\left[
\begin{array}{rrrr}
a &  −b &  −c &  −d \\
b &    a &  −d &    c \\   
c &    d &    a &  −b \\ 
d &  −c &    b &    a
\end{array}
\right]
 \ .  \
\left[
\begin{array}{rrrr}
p  & −q  & −r  & −s \\
q  &   p  &   s  & −r \\
r  & −s  &   p  &   q \\
s  &   r  & −q  &   p \\
\end{array}
\right]
\]

Deze vermenigvuldiging bezit de commutatieve eigenschap. Noemt men den eersten factor \( L \) en den tweeden \( M \), en heeft men een tweede paar \( L' \) en \( M' \), dan is

\[ (L M) (L' M') = L M L' M' = L L' M M' = (L L') (M M'), \]

zoodat het product van twee algemeene substituties gevonden wordt door de afzonderlijke composanten, die dezelfde gedaante hebben, met elkaar te vermenigvuldigen.

Het product van twee matrices van dezelfde gedaante is niet commutatief, maar geeft een nieuwe matrix, die weer dezelfde gedaante heeft. (Zie Nieuw Archief, 2e reeks, Deel I  p.97.[AD 1895])

Noemen wij de matrix, die ontstaat door \( b = 1,\  a = c = d = 0 \) te stellen \( i \); door \( c = 1,\  a = b = d = 0 \) te stellen \( j \); door \( d = 1,\  a = b = c = 0 \) te stellen \( k \), en de overeenkomstige vormen uit de tweede matrix \( i', \ j',\  k', \) dan zijn

\( L = a + bi + cj + dk,\   M = p + qi' + rj' + dk'. \)   [NB: zetfout; \( dk' \) moet zijn \( sk' \). − JEM]


Men vindt gemakkelijk


\( i^2 = j^2 = k^2 = −1, \ k = ij = −ji \)  enz.


De grootheden \( i' \), \( j' \) en \( k' \) voldoen aan de overeenkomstige betrekkingen


\( i'^2 = j'^2 = k'^2 = −1, \ k' = i'j' = −j'i' \)  enz.


Op beide zijn de regels van vermenigvuldiging van quaternions alzoo van toepassing.


In Nieuw Archief (zie boven), heb ik aangetoond, dat een matrix van de gedaante als de hiergevonden eerste factor de beteekenis heeft van een draaiingsoperator voor loodrecht op zijn as gelegen vectoren en dus als bepaling van een quaternion kan dienen.

De algemeene matrix van de vierde orde is het symbool van een draaiing om een vast punt in een ruimte van vier dimensies of van een transformatie van coördinaten met onveranderden oorsprong. Hetzelfde geldt van ieder onzer composanten. Bij gegeven  [pagina 239] begin- en eindstand van het coördinatenstelsel kan de transformatie steeds door een rotatie van een de beide soorten tot stand gebracht worden. Daar dan \( a, \ b, \ c \) en \( d \) of \( p, \ q, \ r \) en \( s \) uit 4 vergelijkingen van de 1ste graad bepaald worden, is de transformatie enkelvouding bepaald.

De Heer F.N.COLE "On rotations in space of four dimensions" (1) en Prof. Dr. P.H.SCHOUTE "Le déplacement le plus général dans l'espace à n dimensions" (2) hebben aangetoond, dat de algemeene matrix door verandering van coördinatenstelsel kan geschreven worden in de gedaante

\[
\left[
\begin{array}{rrrr}
\cos \phi & -\sin \phi & 0 & 0 \\
\sin \phi &  \cos \phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\
0 & 0 & \sin \psi & \cos \psi
\end{array}
\right]
\]
Hierin is nu  \( a = \cos \frac{1}{2}(\phi + \psi), \ b =  \sin \frac{1}{2}(\phi + \psi), \ p = \cos \frac{1}{2}(\phi - \psi), \ q = \sin \frac{1}{2}(\phi - \psi),  \ c = d = r = s = 0\).

In bovengenoemde verhandelingen is aangetoond, wat ook uit deze laatste gedaante duidelijk is, dat de algemeene rotatie ontbonden kan worden in twee rotatiën waarbij ieder punt een vlakke kromme beschrijft, wier vlakken absoluut loodrecht op elkaar staan. Onze ontbinding geeft twee composanten, maar die geen van beide een beweging voorstellen, waarbij ieder punt een vlakke of drie-dimensionale kromme beschrijft.
Een rotatie van de 1ste soort stelt een draaiing voor, waarbij de draaiingshoeken ten opzichte van twee absoluut loodrecht staande vlakken gelijk zijn. Een draaiing van de 2e soort evenzoo, maar neemt men de draaiing ten opzichte van een dier vlakken in dezelfde zin als als bij een van de 1ste soort, dan zal die ten opzichte van het tweede vlak juist in tegengestelden zin zijn.
De uitdrukkingen \( i, \ i', \ j, \ j' \)  enz. stellen draaiingen van 90° voor. Ten opzichte van het eene vlak zijn nu \( i \) en \( i' \) gelijk gericht, ten opzichte van het daarop loodrechte vlak tegengesteld.

De algemeene matrix zal een vlakke draaiing voorstellen als \( \theta = 0 \) dus als \( a = p \) is.

Als men onderzoekt, of de genoemde ontbinding ook voor andere dan de vierde orde mogelijk is, vindt men dat Matrices van de nde orde, die scheefsymmetrisch zijn en tevens aan de voorwaarden voor orthogonale substitutie voldoen, alleen dan uit [pagina 240] n letters kunnen opgesteld worden als n een macht van 2 is. Onze ontbinding kan dus alleen dan plaats hebben als \( n = 2^p \).    

___________
(1) American Journal of Mathematics XII p. 209  [American J. Math. 12, 2, Jan 1890, 191-210]
(2) Annales de l'École Polytechnique de Delft VII p. 149  [AD 1896]



(*) JEM: Typeset from the original AD 1897 paper and annotated by Johan Ernest Mebius
 

 




Validated by AMAYA       Valid HTML 4.01      Valid CSS     MathJax Logo